GGU-ELASTIC: Allgemeines

Nur bei einfachen Systemen lässt sich eine analytische Lösung angeben. Bei der Berechnung von komplizierten Systemen ist man auf numerische Lösungsverfahren angewiesen. Dabei kommen im Wesentlichen

• Finite-Differenzen-Methoden (FDM) und

• Finite-Element-Methoden (FEM)

zum Einsatz.

Bei Finiten Verfahren wird das Gesamtgebiet in viele kleine (finite) Teilgebiete (Elemente) unterteilt. Für diese Teilgebiete werden bei der FEM im Allgemeinen Dreiecke gewählt. Innerhalb dieser Dreiecke werden einfache, im Allgemeinen quadratische Annäherungsfunktionen, gewählt. Die tatsächliche, komplizierte Gesamtlösung wird aus den vielen einfachen Teillösungen mosaikartig zusammengesetzt. Dabei entstehen Gleichungssysteme, deren Anzahl Unbekannter der Anzahl der Systemknoten entspricht. Bei der Finiten-Differenzen-Methode besitzt man im Allgemeinen nur die Möglichkeit mit rechteckigen Teilgebieten das Gesamtgebiet zu diskretisieren. Im Gegensatz zur FEM ist die FDM daher wesentlich unflexibler hinsichtlich der Anpassung an komplizierte Randstrukturen. Auch ist eine Netzverdichtung in Teilbereichen nicht so einfach durchführbar. Weiterhin sind die resultierenden Gleichungssysteme bei der FEM numerisch stabiler. Der wesentliche Vorteil der FDM besteht nur in den theoretisch weniger aufwendigen mathematischen Grundbeziehungen, was im Allgemeinen den Programmnutzer nur wenig interessieren wird. Das Programm GGU-ELASTIC benutzt die Finite-Element-Methode.

Denken Sie bitte bei der Anwendung immer daran, dass alle Finite-Element-Verfahren oder Finite-Differenzen-Verfahren Näherungsverfahren sind. Die Qualität der Annäherung an die tatsächliche Lösung steigt mit feinerer Netzunterteilung. Sie sollten darauf achten, dass in Bereichen, in denen sich das kräftemäßige Hauptgeschehen abspielt (z.B. Einzellasten), die Netzunterteilung enger gewählt wird. Einen gewissen Einfluss übt auch die Form der Dreiecke aus. Optimale Verhältnisse liegen bei gleichseitigen Dreiecken vor. Einen Überblick über die Qualität der Lösung erhalten Sie, wenn Sie das gleiche System nochmals mit feinerer oder auch gröberer Netzunterteilung berechnen und die Abweichungen beider Lösungen miteinander vergleichen.

Folgende weitere allgemeine Anmerkungen zum Programm GGU-ELASTIC sind wichtig:

• Es werden Dreieckselemente benutzt.

• Es gilt das Hooke'sche Gesetz.

• Analytische Lösungen für die Differentialgleichung ebener und rotationssymmetrischer Verformungszustände existieren nur für einige wenige Sonderfälle, so dass bei Problemen der täglichen Bemessungspraxis (mit unterschiedlich verteilten Belastungen, freien, eingespannten oder gelagerten Rändern usw.) auf numerische Verfahren zurückgegriffen werden muss.

Die Differentialgleichung wird vom Programm mit der Finiten-Element-Methode gelöst. Dabei werden Dreieckselemente verwendet. Für diese Dreieckselemente werden einfache Ansätze hinsichtlich der Verschiebung gewählt. Im vorliegenden Fall wird ein linearer Verschiebungsansatz eingesetzt, der in Zienkiewicz (Carl-Hanser-Verlag, 1984, Kapitel 4 und 5) beschrieben ist. Der gewählte Ansatz führt zu Gleichungssystemen, deren Anzahl Unbekannter der zweifachen Anzahl der Systemknoten entspricht. Die Gesamtlösung ergibt sich dann aus der mosaikartigen Zusammensetzung der Teillösungen über die Dreieckselemente. Es ist klar, dass mit zunehmender Verfeinerung des Finite-Element-Netzes die Qualität der Lösung gesteigert wird.

Die Spannungen werden durch numerische Differentiation der Verformungen gewonnen. Da ein linearer Verschiebungsansatz gewählt wurde, sind die Spannungen elementweise konstant. Um das auszugleichen, geht das Programm nach einem Vorschlag von Zienkiewicz wie folgt vor:

Für jeden Elementknoten werden die Spannungen aus den benachbarten Elementen aufaddiert und anschließend durch die Anzahl der benachbarten Elemente geteilt. Dadurch wird der Spannungsverlauf noch besser wiedergegeben. An den Randknoten sind die Resultate naturgemäß nicht ganz so exakt. Weiterhin kann dadurch die Annäherung der Spannungen im Bereich von Elementknoten, die zu Elementen mit unterschiedlichen Materialtypen gehören, verschlechtert werden. Sind die Spannungen in solchen Grenzknoten von großem Interesse, so kann durch eine Verdichtung des Elementnetzes in diesen Bereichen Abhilfe geschaffen werden.

Die Qualität der berechneten Verschiebungen ist i. A. hervorragend. Wenn Sie sich nur für die Verschiebungen interessieren, müssen Sie sich um die vorstehenden Erläuterungen keine Gedanken machen.

Denken Sie weiterhin daran, dass alle Finite-Element-Methoden Näherungsverfahren sind. Die Qualität der Näherung steigt mit zunehmender Netzdichte.